Los espejos
Índice
Objetivos
Criterios de
evaluación
Metodología
Contenidos
Los espejos:
teoría
Fundamento
analítico
Casos concretos
en la fotografía
Casos concretos
en el dibujo
Los espejos y el
juego del billar
Las reflexiones
múltiples
Los espejos y la
perspectiva
Conclusiones
Objetivos
Dar a conocer la teoría fundamental sobre los espejos.
Establecer los fundamentos que sustentan las imágenes especulares.
Desarrollar los contenidos básicos sobre las imágenes reflejadas.
Aplicar los principios de la perspectiva a las imágenes especulares.
Estimular el desarrollo de metodologías didácticas desde un punto de vista
matemático aplicado bajo los contenidos que involucran a los espejos.
Proponer ejercicios para resolver de forma intuitiva y analítica
relacionando las imágenes especulares con teorías geométricas.
Estimular el aprendizaje del conocimiento relativo a las simetrías de tipo
axial, central e inversa.
Facilitar el entendimiento de las imágenes especulares mediante imágenes.
Involucrar el ámbito geométrico y artístico, buscando relaciones e interacción,
así como analogías que expliquen la relación entre ambos.
Promover un aprendizaje de las matemáticas basada en la explicación
mediante imágenes bajo los contenidos que subyacen en este tema.
Explicar las relaciones físicas y matemáticas respecto a las imágenes
especulares, establecer las relaciones que existen entre ambas y formalizarlas
mediante una teoría explicativa.
Establecer metodologías didácticas que cohesionen el ámbito teórico de las
imágenes especulares y el descubrimiento de las formas en ejemplos concretos de
la naturaleza.
Criterios de evaluación
Para poder evaluar los trabajos del alumnado, hemos establecido en dos clases los principios básicos de las
reflexiones y que aquí se abordan de forma somera en la teoría. Hemos explicado
mediante imágenes fotográficas y de ordenador los distintos modelos que generan
imágenes especulares en los objetos, bien sea porque las caras de los objetos
son reflectantes o porque son directamente espejos. A los alumnos se les ha
propuesto realizar ejercicios de formas geométricas y hacer un cálculo de sus
reflexiones a partir de la teoría.
Podemos valorar a la luz de la evaluación de los trabajos que la resolución
de estos ejercicios fue eminentemente práctica y los recursos del dibujo
prevalecieron sobre la teoría.
También pudimos comprobar que hay una estrecha correlación entre el interés
por el ámbito artístico y del dibujo y el descubrimiento de las formas que se
reflejan sobre otras, esta correlación sirvió de estímulo para los
descubrimientos de las imágenes reflejadas que había que resolver en los
distintos ejercicios.
A continuación se muestra el ejercicio propuesto, se trata de un conjunto
de piezas en distintas posiciones casi siempre configuradas mediante una
disposición aleatoria de prismas, a veces en posiciones oblicuas o con planos
con pendiente. Se trata de concebir que cada una de esas piezas contiene caras
que son espejos, reflejando todo lo que está alrededor. Se pide también coger
una de las piezas y concebir las sombras propias y proyectadas, así como la
interacción de los reflejos con las sombras.
Previamente a los alumnos se le han puesto numerosos ejemplos, han visto
imágenes, se le ha transmitido la teoría matemática sobre simetrías que explica
estas relaciones y los principios fundamentales de la geometría proyectiva que
transforma las caras en su sombras, así como la combinación de ambas teorías
para explicar los reflejos de las sombras. También han visto varios blogs y
videos explicativos sobre el tema.
Hay que mencionar que no es un ejercicio de fácil resolución y los fallos
son múltiples, no obstante los principios generales se nota que fueron
entendidos y los fallos se deben usualmente a haber practicado poco y no haber
sido corregido en cada momento acerca de los fallos. Ello es debido también a
que los contenidos referentes a reflejos sobre espejos apenas aparecen
concebidos en las guías docentes relativas a la asignatura.
En la siguiente imagen podemos ver un ejercicio previo en el que los
alumnos practicaron también considerando que cada una de las caras de estos
prismas eran espejos, tiene más fácil resolución que el anterior ya que es una
misma pieza bajo distintos puntos de vista, por lo que los reflejos son todos
semejantes en las distintas perspectivas, teniendo en consideración que la
perspectiva de los reflejos también varía.
Podemos inferir que la evaluación fue positiva ya que al observar las
imágenes se perciben como caras reflejadas dentro del prisma, y eso sin tener
en cuenta que no se hizo un cálculo de sombras, ejercicio que tendría más
difícil resolución ya que interactúa con el cálculo de reflejos.
Metodología
Fundamentos pedagógicos para el desarrollo
de la intuición mediante ejercicios de reflejos en espejos.
Según la concepción de intuición, que
significa mirar, entendemos por ella la forma especial en la que el
conocimiento actúa cuando tiene presente el objeto, en consecuencia podemos
decir que lo mira, que lo aprende con la claridad con la que vemos las cosas
cuando las tenemos ante nuestra vista. La forma intuitiva es adecuada para el
desarrollo primario de los principios matemáticos, ya que ella nos permite la
penetración para llegar a la solución de los problemas sencillos o a la
etiología o fundamentos de los principios que lo sustentan.
Se habla con frecuencia de intuición
geométrica o matemática, usualmente para indicar la facilidad o un acierto con
el que se solucionan casos prácticos mediante una especie de mecanismo
psicológico o visión inmediata que encauza y hace converger datos previos con los
principios de esa ciencia, todo ello con el fructífero objeto de poder
aplicarlos con acierto a un posterior análisis de la misma.
En didáctica es importante el método intuitivo
ya que atiende al trabajo personal del alumno situándolo ante realidades concretas
que ofrecen múltiples puntos de apoyo y mayores núcleos de interés que las
abstracciones y las elaboraciones puramente verbales. Éste sistema de
enseñanza, muy apto para la edad infantil, primaria y secundaria, es visto con
recelo en la enseñanza de adultos ya que se piensa que puede interferir en
operaciones intelectuales más avanzadas de síntesis, razonamientos,
generalizaciones, inferencias, etc., sin embargo la intuición no obstaculiza
los demás procedimientos sino que es un modelo complementario que facilita el
entendimiento de otros procesos.
En este trabajo hemos elegido un método de
intuición mixta en base a que, conforme a su etimología, equivaldría a visión y
se refiere expresamente a aquello que primariamente entra por la vista
proyectándose a las demás facultades del conocimiento. Consideramos además que
la vista, respeto a otros sentidos, es mayor en su perfección en orden al
conocimiento, de lo que se desprende una forma más perfecta del conocimiento a
partir de lo visual. La vista nos proporciona certeza e inmediatez, como la
intuición, que se apoya en realidades concretas y de una forma esencial extrae
valores sensibles e intelectuales que ya son objeto del análisis de nuestra
parte racional, el cortex prefrontal.
En estos ejercicios los alumnos
desarrollan ejercicios sobre espejos relacionados con la simetría espacial
especialmente mediante los recursos de la intuición, sin menoscabo de otros
procedimientos que facilitan la construcción de los ejercicios.
En la historia del desarrollo de la
intuición se presenta el acto intuitivo desde un punto de vista empirista que
admite la intuición sensible, es fundamentalmente el modelo para resolver los
ejercicios según hemos podido comprobar. Más adelante hay una intuición
racionalista que bajo un punto de vista más intelectual razona con los
principios matemáticos de la reflexión, de las simetrías que se perciben en el
espacio; hay además una intuición irracional basada en elementos emotivos, sentimentales, y en otro tipo de emociones que tienen mucha
carga en el estudio de las reflexiones en los espejos, tan utilizados en el
mundo audiovisual y cinematográfico, en efectos especiales de trucos y en otros
de más difícil resolución. La idea de detrás del espejo como algo paranormal es
una expresión con todo el sentido y fundamento matemático que nos sigue
sobrecogiendo, no en vano se ha utilizado en numerosas películas de terror, y a
veces hasta de humor como con Groucho Marx ante el espejo en “Sopa de ganso”,
este sentido a veces lúdico supone en no pocas ocasiones un estímulo para el
descubrimiento de propiedades intrínsecas acerca de los espejos, el misterio
siempre supone un reclamo para el aprendizaje.
En los ejercicios se muestran una serie de
piezas en las que debemos obtener la reflexión de las distintas caras
imaginando que todas fueran espejos, como podemos ver, casi es mirar el
ejercicio y saber la solución, es una intuición de tipo existencial, concreta,
si necesitamos no obstante obtener las imágenes
de una forma deductiva entraremos en una intuición esencial o conceptual,
ligada a una intuición eidética, ponderando ambas bajo una estimación
valorativa de la intuición.
Una vez que hemos evaluado las distintas
imágenes y la resolución de las caras y aristas reflejadas sobre otras caras,
observamos que la visualización ha sido clave para el desarrollo los
ejercicios, sin menoscabo del razonamiento acerca de la simetría espacial,
usualmente el conjunto de experiencias llevaron a la resolución de los
ejercicios de modo inmediato, podemos decir que casi todos están basados en una
primera intuición, en una visión unitaria holística, global y rápida que
resuelve los ejercicios aunque de forma no siempre acertada.
Usualmente la intuición sensible de
captación en las imágenes, de las aristas de las formas que se reflejan
directamente, fue el modelo básico para el descubrimiento de las caras
reflejadas, no obstante el análisis formal o relacional de las distintas
aristas o vértices que se reflejan no siempre produjeron buenos resultados por
lo que observamos que en este ejercicio ha prevalecido la intuición sobre todo
lo demás y como sabemos, la intuición es un recurso de descubrimiento pero no
un artificio de formalización o de discernimiento de leyes.
Si tenemos en cuenta la didáctica de Comenio
acerca de la intuición sensible, podemos observar que, conforme seguía el
método intuitivo, exhortaba a lograr un aprendizaje más eficiente al presentar
el objeto mismo de la enseñanza, proponía incrementar las fotografías y
grabados en textos escolares como modelo para tener un mejor aprendizaje, de
manera que intuitivamente podíamos observar las imágenes y aprender de una
forma más rápida, y la atenta observación de las imágenes podría propiciar la
resolución de este tipo de ejercicios. Si bien la técnica se puede defender,
máxime en ejercicios de la categoría de este trabajo, tampoco podemos convertir
toda la enseñanza en una presentación concreta de objetos, además se ha
propuesto en numerosas ocasiones que estos métodos son buenos en escolares de
bajo desenvolvimiento intelectual o en niños pequeños, pero que el rendimiento
es mayor cuando la intuición sensible es sustituida por la inteligible o mejor
por un pensamiento más analítico. Tras el análisis de los trabajos pudimos
concluir que ambos métodos, intuitivo y analítico, no se excluyen ni se contraponen,
sino que se complementan.
Contenidos
Teoría de los espejos.
Espejos planos, espejos curvos. Tipos de curvatura de los espejos y la
reflexión correspondiente.
Integración de imágenes especulares con las sombras.
Estudio analítico y algebraico de las imágenes reflejadas.
La relación de las matemáticas y la física en el ámbito de los espejos.
Teoría matemática sobre la imagen especular. Tipos de simetrías y su
relación con los tipos de espejos.
La interrelación de las simetrías especulares y las perspectivas.
Metodologías didácticas para el descubrimiento y resolución de los
ejercicios.
Análisis concretos de imágenes especulares en la ciencia, en el arte, en la
geometría, en la naturaleza y en el entorno.
Imágenes múltiples, multiplicidad de simetrías.
Estética y proporción de imágenes especulares en el arte y en la
naturaleza.
Los espejos: teoría
Cuando un punto se refleja en un espejo, se observa como si
fuera el simétrico de ese punto con respecto al plano reflectante. En
consecuencia para hallar la figura reflejada en un espejo tendremos que
calcular la figura simétrica de la figura dada respecto al plano de simetría,
que es el plano del espejo.
Desde el punto de vista de la física,
conocemos que cuando un rayo luminoso incide sobre una superficie reflectante y
toma contacto con ella en un punto, se desvía en una dirección de manera que el
rayo reflejado sigue estas leyes: el plano determinado por el rayo incidente y
reflejado es normal a la superficie reflectante y contiene a la normal a ella.
Los ángulos formados por el rayo incidente y reflejado con la normal son
iguales y se llaman de incidencia y reflexión, respectivamente. Si aplicamos
todas estas leyes a la perspectiva resulta que los rayos que parten de un punto
sólo hay dos que van directamente al punto de vista, uno es el rayo mismo y
otro es el rayo reflejado, de lo que se desprende que el observador verá dos
imágenes, la que corresponde a la imagen directa del objeto y la que
corresponde a la imagen reflejada. Para la perspectiva del objeto y su
reflexión, tenemos que la distancia de ambos al plano de simetría es igual,
excepto en una perspectiva de cuadro inclinado.
De forma general podemos decir que la
imagen reflejada por un punto sobre una superficie reflectante consiste en la
perspectiva del simétrico del punto, respecto a ese plano reflectante.
La simetría que ofrecen los espejos es un
tema lo suficientemente sencillo para poder enfocarlo bajo un principio
pedagógico de la intuición en la que la visión inmediata de los objetos
facilita el entendimiento en la resolución de los ejercicios.
Un reflejo es una simetría espacial o
en el plano (http://giros-traslaciones-simetrias.blogspot.com/):
En el espacio el prisma verde tiene en
su punto A por imagen a A’ y el plano de simetría (el espejo) es perpendicular
a la línea AA’ y queda en el punto medio de esa misma línea.
La simetría plana se da por ejemplo en
las sombras de los cuerpos, siendo el eje e la
intersección del espejo con el suelo. La imagen del punto B se convierte en sí
misma, por lo que es un punto doble. Las figuras reflejadas sobre el espejo
plano, orientadas siempre a la inversa, se llaman virtuales pues se pueden ver
directamente (no como las reales en las que es necesaria una pantalla para
obtener su imagen, como algunas reflexiones de espejos cóncavos).
Dos espejos dividen el espacio en 4
partes, por lo que aparecen 4 figuras. La imagen de A es C a la derecha y B a
la izquierda. Donde se refleja C también proyecta su imagen del espejo que
proyecta B, siendo la nueva imagen C’. B también se refleja en otra nueva
reflexión produciendo B’ como imagen. Las dos imágenes B’ y C’ siempre se
fusionan para formar una sola imagen, al menos con la disposición ortogonal de estos
espejos.
Si son 3 espejos tenemos 3 planos que
dividen el espacio en 8 partes, por lo que tenemos 8 prismas (aunque 1 no se
ve). La imagen de un prisma completo que servía en la figura anterior vale
ahora para los prismas que están por debajo, siempre que los espejos tengan
esta disposición aparecerá la figura en su según una imagen completa,
independientemente de la colocación de la figura respecto a los espejos.
espejos podemos observar la primera
consecuencia, hay una simetría espacial que transforma a A en B y en C
produciendo sus imágenes inversas, pero la imagen D, que es una reflexión
segunda, o imagen de la imagen respecto a A ya no es una simetría obtenida
mediante perpendiculares a un plano. A se transforma en D por el equivalente en
el plano a la simetría central (o una homotecia inversa negativa en la que las
distancias al centro son invariantes). A se transforma en D por una simetría
central en el espacio, donde la intersección de los espejos es el eje y cada
punto tiene su homólogo a igual distancia y siempre en un plano perpendicular
respecto al eje.
A la vista del ejercicio anterior
podemos resolver de forma analítica el siguiente ejercicio:
Dada una recta marrón determinada por
los puntos de coordenadas (4,2) y (8,8), determinar la imagen especular de la
recta considerando dos espejos definidos por los puntos AB y AC.
La ecuación de la recta es inmediata:
8 – 2 tenemos 6 y 8 -4 tenemos 4.
Tenemos que 6 dividido entre 4 es igual a la pendiente de la recta, esto
es 1,5. Si la dibujamos observamos que corta al eje vertical en el punto -4, en
consecuencia su ecuación es y= 1,5x -4.
La simétrica respecto al espejo AB
tendrá el mismo punto de corte con el eje y pendiente negativa, por tanto su
imagen tendrá por ecuación: y= -1,5x -4. Aparece en color rosa.
La simétrica respecto al espejo AC
cortará en el eje vertical en el punto cuatro independiente será también
negativa, como en el caso anterior, por tanto su actuación será y= -1,5x + 4.
Aparece en color verde.
La imagen de ambas rectas será la
misma y paralela a la original, por tanto su pendiente será la misma y el punto
de corte con el eje vertical será cuatro, en consecuencia su ecuación será y=
1,5x + 4. Aparece en color azul.
Para calcular la reflexión sobre un
cuerpo que está a cierta altura o separado del suelo, se determina el eje T que
es la recta de intersección de la prolongación del plano P con el plano del
suelo, sobre el que se calculan las simetrías del plano azul.
La proyección ortogonal E1 de la
esfera E sobre el suelo y su sombra están alineados en una recta que se corta
en un punto G de T. Las imágenes de estos puntos E1’ y Es’ también se cortarán
sobre G.
Fundamento analítico
La reflexión sobre un espejo se basa
en la simetría espacial de cada punto. En consecuencia, para calcular la imagen
especular de objeto haremos la simetría respecto ese objeto, la simetría es
espacial pero su proyección sobre el plano es una simetría plana, por lo que
llega con entender la teoría algebraica acerca de la simetría plana.
Tenemos una simetría respecto al eje y
cuando para todo valor de x se verifica que f(-x) es igual a f(x).
Tenemos una simétrica respecto al
origen de coordenadas cuando todo valor de x se cumple que f(-x) = - f(x). Se
califica de función impar
Tenemos una simétrica respecto al eje
x si no cambia al sustituir –y por y. Son funciones no uniformes
Si tenemos la imagen reflejada de un segmento sobre un espejo y
reflejamos Este sobre otro obtenemos una segunda simetría. Un teorema de
Bravais demuestra lo que se puede ver en la imagen con facilidad, a saber, que
el primer segmento y el tercero se pueden transformar uno en el otro mediante
un giro cuyo centro es la intersección de las dos mediatrices de los segmentos
que determinan los puntos transformados. Esto quiere decir que si tenemos la
imagen de un objeto sobre un espejo y éste se refleja sobre otro, el primer
objeto y su segunda reflexión se pueden obtener mediante un giro. También se
deduce que la primera imagen es inversa pero la segunda no lo es, ya que se
puede obtener respecto del objeto original por un giro.
si tenemos un segmento y se transforma
en otro desde una simetría central de centro C y ahora aplicamos otra simetría
central de centro D para obtener un tercer segmento, tenemos que el primero y
el tercero se pueden obtener uno del otro mediante una traslación. Como sabemos
que dos objetos que son uno simetría central del otro son realmente una segunda
reflexión, el primero se transforma en el segundo mediante dos reflexiones y el
segundo en el tercero mediante otras dos, por lo que el primero se transforma
en el tercero mediante cuatro reflexiones.
En este ejemplo tenemos una función
simétrica respecto al eje vertical y.
f(-x) = f(x).
Ya que:
-(-x) = x
En la figura podemos observar una curva simétrica respecto al eje
vertical y punto al cambiar x por –x obtenemos exactamente la misma función,
por lo tanto es una función par o simétrica respecto al eje vertical.
En la figura observamos una función
trigonométrica cuya curva es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Como podemos ver en la imagen tercera
de este trabajo, una simetría central corresponde a una segunda reflexión.
En esta ecuación observamos que la
curva es simétrica respecto al origen, es una función impar ya que al sustituir
x por –x obtenemos la misma función pero con signo -, por tanto es simétrica
respecto al origen de coordenadas.
En la figura tenemos una hipérbola
cuya ecuación aparece en la imagen, es una función par ya que al sustituir x
por –x, tenemos la misma función.
f(-x) es igual a f(x). El resultado es
la misma ecuación.
Como podemos observar la curva tiene por
x el eje de simetría, éste podría ser el espejo que proyectara una rama de la
hipérbola y la transformara de forma virtual en la otra rama.
Aquí tenemos una función simétrica
central respecto al origen de coordenadas. Es una función impar.
Como podemos observar f(-x) = - f(x).
Si tomamos un tramo de la curva
correspondiente a un cuadrante, podemos observar que el otro tramo es simétrico
central respecto al origen de coordenadas, tenemos por tanto el caso de una
segunda reflexión, considerando ambos ejes ordenados como espejos que se cortan
en su base en el origen de coordenadas.
Aquí tenemos una parábola simétrica
respecto al eje x, como podemos observar no cambia al sustituir –y por y.
Por ejemplo, si cogemos el punto -3
para y, tenemos que (-3) al cuadrado pasa a ser tres positivo, en consecuencia
es simétrica respecto al eje horizontal y pasa por el origen de coordenadas ya
que cuando le damos a x el valor cero, obtenemos el mismo valor para y.
La semiparábola tiene por imagen
respecto al eje x su simétrica, su imagen especular virtual respecto al eje
principal coincide consigo misma.
Aquí observamos la reflexión de un
segmento naranja sobre un espejo esférico cóncavo, como podemos observar el
primer rayo incidente paralelo al eje principal incide en el espejo saliendo
con un ángulo igual, la imagen real aparecen color rojo, ya que el ángulo
incidente es igual al reflejado respecto a la tangente que pasa por F.
Si ahora tenemos un segmento verde
vertical exterior y el espejo es convexo, podemos observar que el rayo se
refleja también siguiendo la dirección real en color roja.
La reflexión del primero aparece en
color naranja y la del segundo en color verde, se ha pasado por el punto medio
o foco como establece la teoría pero sólo aplicable a la parábolas, de hecho la
reflexión de los segmentos verticales que se transforma en verticales, conforme
aparece en los libros, no es tal sino que tiene curvatura, y el extremo real
del reflejo de esos elementos vendría dado por el rayo de color rojo reflejado,
y no el que aparece en color negro, que es el que establecen los libros.
Aquí vemos a la derecha la imagen
reflejada de un segmento vertical exterior al espejo convexo, como podemos
observar la imagen del objeto siguiendo el cálculo anterior es una curva de
aproximación hiperbólica. En el dibujo
de la izquierda podemos ver la aproximación a la curva hiperbólica.
En la figura podemos observar una
parábola con su directriz en color naranja y su foco A. si imaginamos un
paraboloide de eje AC y un punto exterior W desde el que sale un rayo incidente
que se refleja sobre sí mismo, tenemos que el serrallo es perpendicular al
paraboloide, mientras que si trazamos otro rayo con un ángulo cualquiera sale
reflejado con un ángulo igual al incidente de lo que se desprende que al
prolongar ese rayo corta la anterior en W’, imagen especular virtual de W.
Aquí podemos observar un reflector
parabólico en su interior y la reflexión de los puntos de la recta vertical HG.
Como podemos observar la recta se transforma en esa curva roja de semejanza hiperbólica
pero con una protuberancia cóncava en el entorno del punto A.
Para calcular la reflexión de cada uno
de los puntos de la recta vertical naranja, por ejemplo, la imagen del punto D,
trazamos una línea paralela al eje principal y sale reflejada por el foco A,
trazamos una recta perpendicular a la parábola desde D y sale reflejada en la
misma dirección y sentido contrario, la intersección de ambos rayos reflejados
nos da el punto K. Si hacemos eso con varios puntos obtendremos la curva roja
punteada.
Aquí podemos observar el ejercicio
anterior con la teoría que explica su fundamento, al escoger un rayo paralelo
al eje principal corta al reflector parabólico cóncavo en un punto por donde sale
el rayo reflejado con igual ángulo respecto a la ortogonal a la parábola que el
ángulo incidente, ya que en ese punto tenemos la tangente que es perpendicular
a la normal o ejes de simetría. Y como otra recta perpendicular a la parábola
desde D saldrá con la misma dirección aunque con sentido contrario, la
reflexión del punto D no puede ser otro que el punto K.
En la figura podemos observar un punto
exterior C a una esfera y dos rayos incidentes sobre la misma que proyectan
rayos reflejados según simetrías sociales de ejes incidentes en el centro de la
esfera. Como podemos observar la prolongación de sus rayos hacia el interior de
la esfera no incide en el mismo punto sobre la recta ortogonal AC a la esfera
desde C, ello es debido a un efecto de aberración óptica que no se detecta en
las esferas especulares debido al pequeño tamaño de los objetos reflejados
sobre ellas.
En este ejemplo podemos observar un
punto naranja que se refleja a la izquierda sobre un espejo esférico cóncavo y
a la derecha sobre un espejo convexo. En el primer caso tenemos que el rayo
verde sale reflejado con un ángulo igual obteniendo la imagen del punto en la
intersección del rayo reflejado con el rayo naranja normal a la espera desde H.
A la derecha, sobre la esfera convexo observamos la imagen del punto K
siguiendo el mismo procedimiento, un rayo cualquiera sale reflejado con un
ángulo igual, esto es, simétricos respecto al rayo discontinuo azul y la
intersección de esa recta con la recta KC nos determina la imagen del punto.
Como podemos ver en el caso de la
derecha, cuando la esfera es convexa, la imagen siempre es de menor tamaño ya
que será una especie de simetría respecto a la circunferencia, una especie de
inversión, además la imagen es siempre virtual, que quiere decir que está
detrás del espejo.
En el caso de la izquierda la imagen
es real, que quiere decir que la podemos
obtener sobre una pantalla y que no se ve directamente sobre el hueco cóncavo
de la esfera.
Conforme a la explicación del
ejercicio anterior, se puede plantear el siguiente ejercicio:
Dada una esfera en planta y alzado,
determinar la posición exacta del foco de luz que la ilumina sin tener en
cuenta ninguno de los objetos que aparecen reflejados sobre ella, salvo la
reflexión del punto de luz o lustre (punto blanco a la izquierda de la esfera).
Como es una esfera cromada enteramente
reflectante, no tiene sombra propia ya que refleja todo lo que está a su
alrededor, refleja el espacio circundante en color negro, dos prismas en color
azul y rosa y su sombra arrojada sobre el suelo y sobre el prisma azul. En el
ejercicio se pide calcular la posición exacta del foco de luz en planta y en el
alzado, partiendo de su reflexión sobre la esfera.
Tenemos que la reflexión del foco de
luz sobre la esfera es el punto B1 B2 en planta y en el alzado,
respectivamente. Hacemos una línea vertical d por B1 hasta la parte superior R2
de la esfera, que es donde se ve realmente sobre la planta.
Si por R2 hacemos una línea que pasa
además por el centro de la esfera O2, tenemos el eje de simetría e del rayo de
luz. Construimos la recta simétrica d’ del rayo de luz vertical y obtenemos en
la intersección con la línea que pasa por el centro de la esfera O2 y la
reflexión B2 en el alzado, el punto de luz en el alzado L2.
Para obtener el punto de luz en planta
hacemos una línea que pasa por el centro de la esfera O1 y por R1. Donde esta
línea corta a la vertical que pasa por el punto L2, obtenemos la proyección del
punto de luz L2 en planta.
Podemos observar que un punto exterior
K a la esfera, tiene por imagen especular a R, con aproximación al punto
inverso K’1, cuanto más se acerca el punto K a la esfera su imagen R más se
aproxima al punto inverso. El punto inverso K’1, es aquel que es simétrico del
punto original K teniendo como eje de simetría a la circunferencia, se cumple
que CK. CK’1=K.
En la imagen podemos ver la disparidad correspondiente a la aberración
óptica al lanzar dos rayos incidentes sobre la esfera cóncavas desde H. La
intersección con la ortogonal desde H a la esfera intercepta a los puntos A1 y
R.
En la imagen podemos observar un
cuadrado azul y su imagen especular en color amarillo, tenemos también un punto
de vista H que determina en la perspectiva la relación entre el tamaño de la
imagen respecto al objeto original. Como tenemos que los triángulos son
semejantes, el lado verde es al violeta como el naranja es al de color rosa, de
esta forma podemos obtener la dimensión del segmento JK.
Tenemos un objeto a la derecha y un
punto de vista H, tenemos también un espejo que refleja el objeto cuadrado
sobre el mismo, se pide calcular la longitud del espejo de altura para que se
pueda observar la imagen ED del cuadrado en el lado que da al espejo.
Resuelto como el anterior, tenemos que
el segmento vertical JK es al segmento ED como MH es a HL, ya que son
triángulos semejantes.
Como lado del cuadrado vale la unidad
y JK al despejar obtenemos que vale 0,67 el tamaño del espejo para la distancia
de ese observador en perspectiva debe ser 0,67/1.
Casos concretos en la fotografía
En la figura podemos observar un
cilindro que está iluminado por un rayo láser cuyo rayo incidente sale
reflejado con un ángulo igual respecto a la normal por el punto de contacto, la
prolongación del rayo reflejado hasta un rayo que une el foco de luz con el
centro de la circunferencia del plano por donde sale la luz es la reflexión del
punto.
El rayo amarillo a se refleja según el
rayo a’, con un ángulo igual respecto a j.
El rayo reflejado el incidente r son coincidentes, ya que pasan los 2
por 1 recta blanca que une el eje con el foco, la intersección de a’-r es la
reflexión del punto sobre el cilindro reflectante.
>
Tenemos el mismo caso que el anterior
pero en el caso de una esfera de centro C, figura con doble curvatura convexa.
El rayo amarillo b sale reflejado como el rayo
b’, mientras que el rayo verde a incidente y reflejado son coincidentes por
pasar por el centro de la esfera o plano meridiano-focal.
La prolongación de b’ por el interior
de la esfera corta al rayo verde a en un punto de luz, ese punto es el reflejo
sobre la esfera de la luz que sale del foco.
Casos concretos en el dibujo
La Perspectiva curvilínea de un espejo que refleja el espacio circundante
y que abarca un gran ángulo se rige por las mismas leyes que las que
corresponden a los espejos planos.
Para calcular la reflexión de la
esfera roja sobre la esfera reflectante, se lanza un rayo cualquiera a sobre la
superficie reflectante desde el centro del objeto hasta que incide en un punto
P de la misma. Por P y el centro de la esfera O pasa el eje de simetría de la
recta a y su recta reflejada a’. La intersección de la recta a’ prolongada por
dentro de la esfera con la recta que une el centro de la esfera O con la esfera
roja es la reflexión del centro del objeto que queríamos calcular.
Una vez que hemos calculado la
reflexión del centro de la esfera roja, la reflexión de toda la superficie
esférica será una esfera homotética de la anterior -algo deformada- cuyo centro
O de la misma es el de un cono tangente a la esfera roja.
El ángulo de incidencia que forma la
recta a ti el eje es igual al ángulo reflejado que forma la recta a’y el eje,
considerando por P un plano tangente a la esfera y el eje normal para ese
plano.
Un objeto enteramente reflectante como
puede ser una esfera cromada proyecta su sombra sobre el suelo; es igual que
cualquier objeto pero carece de sombra propia, ya que está reflejando todo el
entorno.
En la esfera podemos ver reflejado
todo el plano del suelo que rodea el contorno de la esfera y el cielo junto con
el foco de luz y su reflexión sobre el suelo. La zona oscura que tiene en el
extremo derecho inferior corresponde a la reflexión de la sombra arrojada sobre
el suelo, no a la sombra propia del objeto como pudiera parecer. En
consecuencia las sombras y las reflexiones son elementos inversamente
proporcionales, esto quiere decir que cuanto mayor sea la reflexión que se
genera en un objeto menos sombras va a mostrar, como puede ser el caso de una
figura cuyas caras son espejos.
Para un cilindro tendríamos el mismo
caso que el anterior, una recta a sale reflejada respecto a un eje e ortogonal
al eje del cilindro con igual ángulo con el que ha llegado. El rayo incidente
que sale del objeto y el reflejado que rebotan en la superficie cilíndrica
forman el mismo ángulo respecto al eje de simetría e y están todos en un mismo
plano. Prolongamos a continuación el rayo reflejado a` hasta la perpendicular
desde el punto P hasta el eje de revolución del cilindro. En la intersección de
estas dos rectas tenemos la reflexión del punto P que es P’.
Aquí tenemos el mismo caso que el
anterior, por el punto A centro de la esfera lanzamos un rayo incidente en la
superficie cilíndrica n que sale reflejado n’ con igual ángulo respecto a la
normal e. Al hacer una recta perpendicular t a la superficie cilíndrica tenemos
en la intersección con n’ el reflejo R del punto A.
Para calcular la sombra arrojada S de
la esfera seguimos el mismo procedimiento,
Una forma de calcular reflejos sobre
superficies con curvatura prescindiendo de las curvas de la misma, consiste en
convertir las superficies curvas en planos rectos. De esta forma sobre el
cilindro se refleja la recta m y se transforma en m’.
Si queremos hacer el cálculo
considerando el cilindro como un prisma con infinidad de planos, determinamos
el reflejo sobre cada uno de esos planos y la línea quebrada m’’ que determina
la reflexión de la recta m es suplantada por una curva aproximada a los puntos
que se han calculado. Para determinar un segmento cualquiera sobre una de estas
caras del prisma, calculamos el punto de corte de la traza horizontal del plano
reflectante e con la recta m de la cual queremos obtener su reflexión. Respecto
al plano reflectante que pasara por e, tenemos que la recta m se refleja con un ángulo igual
respecto a la línea e. Por tanto la reflexión de la recta m sobre el plano de
traza e es la recta b, recta simétrica de m respecto a la traza del plano e.
Aquí observamos resuelto el mismo
ejercicio pero definiendo el prisma sustituto del cilindro con un menor número
de planos. Cuando el número de planos es muy pequeño es difícil a veces
determinar la curva que se ajusta al reflejo poligonal de la recta, por ello es
aconsejable definirlo por un número de planos considerable.
En la figura podemos observar las tres
caras reflejadas (rojo, verde y azul) sobre el cono reflectante y parte del
suelo (en color amarillo) en los laterales, también podemos observar en color
negro del espacio exterior correspondiente a una cara lateral y otra superior
que le falta al cubo, en el que está el cono. Observamos también el punto de
luz que ilumina el cono en color blanco delante del plano azul. La reflexión de
los elementos se adecua en gran similitud a las generatrices del cono.
Para calcular la reflexión de las
líneas de intersección de los planos sobre el cono, podemos considerar el cono
como infinitos cilindros, y estos como prismas de infinidad de caras, sobre las
que calculamos la reflexión.
En el caso del cilindro, las líneas de
intersección de los planos que se reflejan separando uno de otro, también
coinciden con las generatrices de la superficie. Ello es debido a que el
cilindro es el caso particular del cono en el que el vértice ha fugado al
infinito, de esta manera las generatrices que pasaban por el vértice del cono
se alejan hasta un punto en el infinito por lo que aparecen verticales.
Para determinar la reflexión de las
mismas podemos hacer la reflexión de las verticales y determinar el punto donde
empiezan a generarse calculando la reflexión del punto correspondiente con su
cota.
En la esfera podemos observar
perfectamente los cuatro planos en color rojo, azul, amarillo y verde. También
observamos las dos caras que le faltan al cubo en color negro, junto con el
punto de luz que ilumina la esfera.
En el cono invertido se pueden
percibir las líneas de reflexión que separan los planos verde, rojo y amarillo,
incluida la reflexión de la sombra proyectada del cono. Las líneas se adecuan
en gran medida a las generatrices del cono, pero se curvan por estar en la zona
periférica de la superficie.
El cono apoyado sobre el plano
horizontal con una reflexión parecida a la de la primera imagen, en la que las
líneas de separación entre planos y zonas de oscuridad y luz son aproximadas a
las generatrices del mismo.
En la pieza podemos observar la
combinación de las sombras propias y arrojadas de la figura con las reflexiones
correspondientes. Podemos observar en la pieza que las reflexiones tienen más
fuerza sobre las zonas sombreadas y sobre las zonas cercanas, perdiendo nitidez
en zonas con más alejamiento, lo mismo pasa con las sombras, más nítidas e
intensas cerca del objeto.
La luz que ilumina la figura es
puntual ya que las sombras proyectadas de las verticales w q concurren en un
punto, este punto es la proyección ortogonal de la luz sobre el plano
horizontal.
Si construimos la dirección de los
rayos h u en el espacio definido por puntos límites de las sombras y los puntos
de la pieza correspondientes, tenemos que en la intersección de estas dos
líneas h u, está el punto de luz e incide sobre la vertical de la intersección
de las rectas w q.
Tenemos que una recta cualquiera
horizontal m proyecta su sombra paralela a ella m’s y más nítida que otra f éste
más alejada del suelo con su correspondiente sombra f’s. Esta línea de sombra
se refleja sobre la pieza en su cara sombreada mediante la recta m’, m se
refleja también sobre la cara vertical de la pieza provocando la línea de
reflexión m’’.
La reflexión del segmento vertical B
tiene más fuerza sobre la sombra B’ que sobre la zona de luz.
Un punto cualquiera J tiene su punto
reflejado J’ a igual distancia respecto al plano de simetría de la pieza, la
cara de la pieza es el plano de simetría cuyo punto y su imagen están en una
ortogonal al mismo y a igual distancia.
J es la sombra proyectada de un punto
de una arista de la pieza y su punto reflejado J’ tiene más nitidez por ser
reflexión de la sombra y estar sobre una zona obscura de la reflexión que otra
recta d sobre una zona de luz con su correspondiente segmento reflejado d’. La
oscuridad de una cara en sombra, suma su tonalidad a la sombra proyectada x y
reflejada a continuación sobre esta misma cara x’.
Observamos el simétrico P’ del punto P
respecto al plano de simetría que es la cara de la figura y que están en una
perpendicular a la recta c, traza de la cara de la figura, ambos a igual
distancia de la misma. Observamos también con poca fuerza el simétrico A’ del
punto A, por estar sobre una zona de luz, lo mismo sucede con el punto E y su
simétrico E’.
los detalles antes expuestos, que la
sombra proyectada unida a la reflexión del objeto provoca una mayor tonalidad
en la intersección de ambas. Que las sombras proyectadas son más nítidas cuanto
más cerca estén del objeto.
Como novedad podemos observar que la
pieza al tener una textura rugosa, la reflexión de las aristas sobre las caras
empieza por ser nítida al lado de ellas mientras que se muestran difusas cuanto
más alejadas estén. Que como en toda pieza reflectante, la superficie metálica
muestra aparte de las sombras y las reflexiones una tonalidad siempre en degradado,
debido a que refleja también la tonalidad exterior del ambiente.
Otro ejemplo análogo al anterior.
multiplicidad de reflexiones resulta
complicado hacer el cálculo, en el dibujo un prisma está apoyado en una arista
PC del mismo sobre una superficie reflectante, y el prisma también es otra
superficie reflectante. El punto A refleja su simétrico respecto al eje e, que
es la intersección del plano vertical que pasa por AP con el plano donde se
apoya. Por tanto de forma general y en una primera reflexión tenemos que la
cara del prisma APC se refleja según A’PC. Pero la reflexión respecto a este
último plano del punto A se tiene que es A’’. Y la reflexión del segmento A’P
respecto al plano APC convierte al mismo en la línea reflejada PB, etc.
En las siguientes imágenes podemos
observar la transición entre la superficie cóncava y la convexa en una
superficie. Podemos observar la forma en que se transforma la imagen,
invirtiéndose cuando pasa de ser un toro a un hiperboloide de una hoja.
Para calcular la imagen reflejada
sobre las superficies, podemos transformar las superficies curvas en pequeños
planos o facetas y calcular la reflexión sobre cada uno de sus planos. La línea
quebrada que queda reflejada sobre las facetas define los puntos de la curva
reflejada, que es la reflexión de la línea de intersección de dos planos.
La reflexión del entorno del cilindro
se puede calcular considerando éste como un prisma de infinitas caras. En la
figura podemos observar como el toro se transformó en un cilindro, de manera
que la curva de revolución en torno al eje que era una circunferencia, se fue
transformando en elipse y a continuación en línea recta. De ser una recta y
generar en su exterior una superficie cilíndrica con sus generatrices
verticales análogas a la reflexión que se produce en un prisma.
Pasa a ser una superficie cóncava con
forma de hipérbola que invierte la reflexión. Observamos que la cara de color
amarillo que sobre el cilindro se reflejaba en la parte de abajo pasa ahora a
estar en la parte superior. De esta manera podemos observar en la práctica y
bajo ciertas condiciones que si una superficie es cóncava la imagen aparece al
revés, invertida, mientras que si la superficie es convexa, la imagen permanece
del derecho.
hiperboloide de una hoja suavizado por
sus bordes superior e inferior. Por ser una superficie cóncava la imagen se
refleja invertida: el suelo aparece reflejado en la parte superior y el espacio
circundante oscuro y la luz que la ilumina reflejado en la parte inferior.
Una equivalencia de los espejos con el juego del villar
las leyes de la mecánica y los objetos
reflejados. Una bola de billar que rueda sobre un plano y rebota contra otra
sale proyectada con un ángulo igual al original. Lo que se aplica en la ley de
reflexión con el rayo incidente y reflejado vale para los objetos en su
trayectoria, como pasa en este juego. Esto sirve para calcular la trayectoria
de la bola y el número de golpes que necesita para meterse en un agujero
siguiendo la dirección correspondiente. Por tanto las líneas simétricas de la
trayectoria de la bola siguen siempre dos únicas direcciones, las que
corresponden a los rayos incidente y reflejado, o en este caso incidente y
rebotado.
Considerando el plano del juego del
billar como el rectángulo de color siena claro, queremos que tras un golpe a la
bola en el punto P entre por el agujero después de tres golpes. Construimos una
matriz con varios tableros, los que necesitamos son los amarillos. Unimos el
punto P con el punto tres. Observamos que la línea P3 toca a los lados de los
rectángulos en el punto 1, 2,3. Esto quiere decir que para meterse la bola en
el agujero, va a tocar en el rectángulo original tres veces.
que dando el mismo número de golpes va
entrar por otro agujero. Si la recta P3 corta a los rectángulos en 3 puntos,
ello quiere decir que en el rectángulo original va a tocar también en 3 puntos
incluido el hueco por el que se mete.
precisión porque agujero para entrar
la bola, basta con aplicar simetrías. En el dibujo la bola partiendo del punto
P va a entrar en el agujero con cuatro golpes ya que intercepta a los tres
rectángulos amarillos en cuatro puntos, incluyendo el agujero como un golpe
más.
Para saber el punto por el que va a
entrar basta con calcular el correspondiente del punto cuatro. Que el
rectángulo que contiene el punto cuatro se gira en el espacio respecto al eje a
y obtenemos su simétrico 4’’. Hacemos lo mismo con este punto y obtenemos su
simétrico respecto al eje b en el punto 4’. Ello quiere decir que esté base del
punto de entrada. En síntesis lo que se hace es plegar los planos para ir
obteniendo el simétrico del punto final al que va dirigido la trayectoria
recta.
mismo ejemplo, se trata de meter la
bola en el agujero tras ocho golpes, haciendo el simétrico del último
cuadrilátero que contiene al punto ocho, hacemos el simétrico respecto a la
línea que pasa por el siete, luego el simétrico del último respecto al eje que
pasa por seis, luego con el siguiente respecto al eje que pasa por cinco, luego
con el siguiente respecto al eje que pasa por cuarto, etcétera. Así obtenemos
que el simétrico del punto 8 tras este producto de simetrías es el punto 8’ por
donde va a entrar la bola.
Las reflexiones múltiples
Reflexiones múltiples
En el dibujo en planta tenemos un
objeto o pieza representado por la letra P y tres espejos que lo rodean e1 e2
e3, vamos a calcular las posibles reflexiones que se producen desde diferentes
puntos de vista.
objeto está formado por dos piezas de
distintos colores, rojo y amarillo. Al reflejarse el objeto A sobre el primer
espejo, tiene por imagen A’ la misma pieza pero invertida, la parte amarilla es
la que está frente al espejo por lo que en su imagen se puede observar en
primer plano.
Al reflejarse sobre el siguiente
espejo tenemos que respecto a ese plano del espejo, la cara que mira para él es
de color rojo, por lo que aparece su reflexión nuevamente invertida, y así
hasta el infinito. Como tenemos que la imagen correlativa es siempre invertida,
de ello se desprende que las impares son iguales, de esta forma tenemos color
rojo, color amarillo, color rojo, color amarillo, con lo que el primer objeto
es igual a su segunda reflexión, a su cuarta reflexión, a su sexta reflexión,
etc.
Observamos además que como hemos
visto, en planta los espejos e1 e3 no eran paralelos (imagen anterior), por lo
que, al converger en un mismo punto, tenemos que todas sus imágenes también
convergen en el mismo punto, ello quiere decir que los puntos O P Q L están
sobre una circunferencia, cuyo centro es el de intersección de los ejes de
simetría e1 e2, etc.
los tres espejos, la pieza P se
refleja sobre el primer espejo con su imagen invertida P’, de igual manera se
refleja sobre el segundo espejo P’’ y éste refleja la reflexión P’’’ de la
pieza sobre el espejo 3.
Como podemos observar el espejo tres
muestra la imagen P’’’ del objeto P’’ sobre el espejo dos, y ello se obtiene
haciendo una simetría de la pieza teniendo en cuenta la traza del plano tres.
También se puede obtener considerando que la pieza P se refleja sobre el espejo
cuatro en el punto P’’’’ (reflexión que no se puede observar en el dibujo). Al
proyectar ambos elementos sobre el espejo dos, obtenemos la reflexión P’’ con
su imagen P’’’.
Aquí observamos otra perspectiva de
los tres espejos con sus trazas respectivas y la pieza más o menos centrada.
Tenemos en el primer espejo que se refleja la traza b respecto al eje de
simetría a, obteniendo de esta forma su imagen b’. Considerando la nueva imagen
reflejada del plano 2, tenemos que por la traza de este plano b’ pasa la recta
a que se refleja según la recta a’. Considerando esta última como la traza del
plano de reflexión, tenemos que la recta b’ se refleja respecto al eje de
simetría a’ como b3. De esta forma podemos deducir que un conjunto de espejos se
reflejan alternando los dos planos de reflexión que se interceptan, por ejemplo
los planos uno y dos, cuyas trazas son respectivamente las rectas a y b, se
reflejan en el espejo de forma alterna, esto es, a, b’, a’, b3, etc.
Lo mismo se puede decir sobre otro
plano cualquiera de reflexión, por ejemplo respecto a la traza c, tenemos que
se refleja la recta b obteniendo como imagen la recta b’’. Podemos observar
también que frente a la recta c tenemos la recta a, y esto aparece en la
reflexión del espejo tres, respecto a la recta c tenemos la imagen de la recta
a, que es la recta a tres. Si consideramos la traza a tres del nuevo plano de
reflexión, tenemos que refleja la recta b’’ en la recta b5. No es necesario
fijarse en las simetrías en el espacio, si las rectas concurrentes b’’ a3
aparecen en la reflexión, sus imágenes alternas aparecen a continuación, b’’,
a3, b5, a6, y lo mismo en el otro sentido, b’’, a5, b6.
De igual forma tenemos la traza b del
plano dos, que refleja la recta a en su imagen a’’. Considerando esta última
como eje de simetría refleja la recta b en la imagen b4, y frente a la recta
a’’ su imagen c’’. No hay que olvidar la posición de la pieza siempre dispuesta
en forma circular respecto a la línea de intersección de dos planos de reflexión,
así como los planos que se van reflejando sucesivamente sumando la tonalidad
del precedente, como ejemplo tenemos que el plano dos se refleja respecto al
plano uno según el plano 2’.
esferas, una metálica que genera
reflexiones de todo su alrededor y otra de cristal que genera refracciones de
todo lo que le rodea. Ambas aparecen reflejadas en infinitos planos dispuestos
ambos como pudimos observar antes en cierto ángulo de convergencia. Toda recta
m que une puntos de simetría de todas las imágenes y piezas originales tienen
sus vértices sobre una circunferencia. Todos los ejes de simetría a’ b o líneas
de intersección de los planos de los espejos con el suelo son una radiación que
incide en un vértice, esto es, son un conjunto de rectas que pasan por un
punto, el de la recta de intersección de los espejos con el suelo.
En la figura podemos observar la
disposición de los dos espejos a b y las dos esferas en planta, junto con el
punto de vista V desde el cual se observa la imagen anterior en perspectiva;
las esferas se reflejan sobre el espejo b y su imagen simétrica se observa
desde el punto V, obteniendo en la intersección de estos rayos visuales las
imágenes de ambas, de esta forma la imagen de la esfera e se obtiene en la
intersección de la recta V e’ con el espejo b en el punto B. Haciendo la
reflexión del espejo a respecto al espejo b tenemos que su recta simétrica es
la recta a’, sobre la que se reflejan las esferas ya reflejadas , de esta forma
la reflejada e’ se transforma en una nueva esfera reflejada e’’. Esta nueva
esfera reflejada se ve desde el punto de vista el intersección de la recta V
e’’ con el plano b, esto es, en el punto C.
En la imagen podemos observar las dos
esferas, una de cristal y otra metálica, su reflexión sobre dos planos y un
punto de luz que las ilumina proyectando en la esfera metálica una zona de
sombra y en la de cristal otra zona de sombra junto con un anillo de luz U
llamado efecto cáustico. Podemos observar que las esferas se reflejan sobre el
plano rojo T S y estos dos elementos reflejados aparecen refractados sobre la
esfera de cristal de forma invertida, ya que el plano rojo también está
invertido.
Tenemos tres planos en color rojo,
verde y azul denominados respectivamente ACB. El espacio circundante es de
color azul claro, con lo que tenemos que sobre la esfera se reflejan los tres
planos de manera que los puntos de cada plano reflejado están alineados con el
centro de la esfera. De esta manera el plano rojo de la izquierda aparece
reflejado sobre la zona izquierda de la esfera, según nuestro punto de vista,
el verde situado en la zona derecha aparece respectivamente sobre la zona
derecha y así con todos los elementos. En la refracción sobre la esfera de
cristal aparece todo lo contrario, como si se tratase de una simetría central
la zona roja se refleja en la parte opuesta del esfera, de esta manera el plano
A se refracta según el plano A’, y así con todos los demás elementos.
En la figura observamos otra vez las
dos esferas, en la de cristal el efecto cáustico o de zona de concentración de
luz arrojada sobre el suelo y que en la esfera aparece alineado con los dos
puntos de luz o lustre de la esfera, el entrante y el saliente.
Mientras que el punto de luz
correspondiente al brillo de la esfera metálica aparece alineado con el centro
de la esfera y el punto de luz. Hay que destacar que el punto de luz reflejado
tiene suficiente potencia como para rebasar la zona de sombra que arroja el
prisma magenta sobre la esfera.
En la figura podemos observar otro
ejemplo de reflexiones múltiples, dos esferas, una cromada incolora A o si se
quiere de color plata y otra de color verdoso B, la primera A refleja la
segunda B (B’) con la reflexión
A’ de esta incluida (A’’), pero esta reflexión contiene a la reflexión de la
anterior y esta a la reflexión del anterior y así hasta el infinito. Como
pasaba con los planos que reflejaban las esferas, la disposición de los
reflejos de las esferas es siempre alterna, ya que cuando una esfera refleja la
otra, está también refleja la anterior con lo cual está reflejando la esfera
que tiene al lado junto con la reflexión que contiene ésta y así hasta el
infinito.
La hora invertida
La hora que este reloj marca son las
15:25 horas, al menos aparentemente, pero aportamos un dato que cambia la hora:
estamos de espaldas al reloj, pero lo vemos reflejado en el espejo, se trata de
calcular la hora que es.
Como sabemos que un reflejo es una
simetría en el que la imagen aparece invertida, para calcular la hora real
tendremos que pensar en una simetría axial de eje vertical que pase por el
centro del reloj...
Como podemos observar en la figura de
la izquierda el reloj aparece reflejado sobre un espejo por lo que si
imaginamos el eje vertical que pasa por el centro del reloj las agujas serán
simétricas respecto al eje de simetría, obteniendo de esta forma la hora real a
la derecha, las 20, 35 horas.
Los espejos y la perspectiva
Tenemos una imagen de un espejo de los
que hay en los baños, está abierta una puerta del compartimento, se pide
calcular el ángulo que forma la base de esa puerta con el borde anterior del
espejo horizontal, se pide calcular también si el vaso es cónico o cilíndrico,
se pide determinar la posición del punto de vista respecto a la imagen y la
línea del horizonte.
En ejercicios de este tipo, las
imágenes reflejadas nos suelen dar más pistas que en una imagen convencional de
una perspectiva cualquiera, en esta perspectiva podríamos obtener muchos más
detalles, desde las dimensiones de los objetos y la posición de unos respecto a
otros hasta las dimensiones, siempre y cuando nos faciliten una medida
referente, ya que las medidas que estos objetos son relativas, es como por
ejemplo cuando vemos la foto de un coche, podemos restituir y obtener los
detalles del mismo, podemos incluso obtener las dimensiones de unas partes
respecto a otras, pero no podemos obtener la dimensión real ya que puede ser la
foto de un coche real o de una maqueta.
Prolongamos las líneas del rectángulo
horizontal y obtenemos los puntos XS, dirección del horizonte. Hacemos una semi
circunferencia que pase por estos puntos XS y sobre la vertical que pasa por el
punto T concurrente de las verticales sabemos que pasa la proyección ortogonal
del punto de vista sobre el plano del cuadro o plano proyectante de la película
de la cámara fotográfica. La intersección de esa vertical con el horizonte nos
determina el punto o. La semi circunferencia de diámetro OT determinar la
localización del punto de vista V abatido sobre el plano, es la intersección
del arco de radio oP con la circunferencia violeta. La intersección de la semi
circunferencia azul con la línea vertical por T determina P. Desde este
punto P hacemos una línea hasta X y
tenemos que esa es la dirección real de b respecto al plano del cuadro o plano
del papel, hacemos lo mismo con la recta a y obtenemos la dirección real a’
respecto al plano del cuadro. Eso quiere decir que el ángulo a’b’ es el ángulo
real entre las rectas ab, que era otro dato que se pedía.
Al unir el punto o con el punto de
vista V obtenemos la inclinación de la Cámara respecto al plano horizontal. El
vaso es cilíndrico pues su contorno fuga a T.
La resolución de todos los datos de
este ejercicio se basa en un principio geométrico básico de la geometría
proyectiva, a saber, que las rectas paralelas se cortan en el infinito, porque
si no lo hicieran la proyección de una recta sobre un plano sería una recta -1
punto, en consecuencia no sería una homografía, y la perspectiva de una recta
de infinitos puntos es otra recta de infinitos puntos.
Conclusiones
Podemos inferir a la vista de los trabajos
en los ejercicios resueltos adecuadamente, que la facilidad para el dibujo ha
propiciado una resolución favorable de los ejercicios, ejercicios que en
principio parecían en extremo sencillos por resolverse con la presencia de la
imagen del objeto, resultaron ser complejos aun bajo una apreciación a veces
intuitiva o mediante un intento de resolución deductivo, considerando el
concepto de simetría espacial. Pudimos observar también que la visión intuitiva
de estas relaciones de simetría espacial en los objetos estaban sometidos por
un sumergimiento en la realidad, que tuvo prevalencia sobre las consecuencias metódicas
de cualquier elaboración lógica, de lo que se desprende que la resolución
intuitiva tuvo resultados superiores a la que correspondería a un análisis
deductivo de las formas.
Podemos sin embargo y como conclusión
establecer que una resolución intuitiva de los ejercicios no excluyó a las
relaciones lógicas ulteriores que fueron implícitamente implicadas en el desarrollo de los mismos, si
bien los ejercicios se elaboraron de una forma sintética y de una forma súbita,
ora como iluminación previa y aparentemente injustificada, ora como síntesis
clarificadora de un conjunto completo complejo cuyas partes habían sido
aprendidas de modo independiente. Podemos inferir también acerca de la
presencia de momentos deductivos a posteriori que sacaron conclusiones acerca
de la resolución de los ejercicios, y todo esto lo podemos referir en base a
posteriores aclaraciones de los alumnos. La resolución de los ejercicios fue
prácticamente inmediata con estos trabajos que se acercaron a la realidad, los
alumnos la analizaron mediante una sensibilización de lo abstracto y con ello adiestraron
de mejor forma los sentidos, obteniendo mayor claridad, certeza y estabilidad
en la comprensión de las formas, para ello se exigió concentrar con esmero la
atención en las formas de los objetos a fin de clarificar los principios de la
reflexión sobre espejos y eliminar ilusiones que dieran lugar a perspectivas
variables. Hay que decir también que el ejercicio propuesto en el aula que realizaron
los alumnos y que se pueden descargar en la siguiente dirección:
adolecen de algunos fallos ya que no son
de fácil resolución. Ejercicios análogos puestos en otros cursos indicaban que
intuitivamente tenían mejor resolución que con el análisis deductivo, como ya
se aclaró anteriormente, también pudimos observar que este tipo de ejercicios
tenían mejor resolución por alumnos que estudiaban ciclos o estudios superiores
de diseño, dibujo o lustración, mientras que este tipo de trabajos supusieron
mayor dificultad para aquellos alumnos que estudiaban otro tipo de
bachilleratos o ciclos, así como alumnos que estudiaban dibujo en la facultad
de ciencias de la educación.
Las actividades esenciales que se han realizado en el aula son
fundamentalmente dos: análisis teórico y práctico de los contenidos
involucrados en la reflexión especular y resolución de ejercicios con ejemplos prácticos
y aplicaciones concretas.
En el aula se ha explicado el tema durante dos clases completas y se han
propuesto distintos ejercicios para la resolución de los ejercicios que
involucran imágenes especulares.
Podemos concluir que la experiencia ha sido gratificante ya que el
alumnado, pese a tener sólo cuatro horas de teoría y práctica de estos
ejercicios, ha podido resolver con gran acierto los ejercicios propuestos. El
alumno ha sabido entender también la utilidad de comprender cómo resolver las
imágenes especulares, ya que eso le propicia una metodología que facilita hacer
dibujos más realistas, por ejemplo reflejar sobre un lago el paisaje o hacer la
perspectiva de una habitación con el suelo brillante o que se reflejen sobre
las ventanas partes del paisaje, son ejemplos concretos que explican la
utilidad de este tema que se puede entender con facilidad gracias a los
fundamentos matemáticos acerca de la simetría axial fundamentalmente.
Los alumnos a los que se les ha propuesto los trabajos tras la explicación
teórico práctica, corresponden a un ciclo formativo del grado superior de ilustración de la Escuela de
arte y superior de Diseño “Antonio Faílde”, en la materia de geometría
descriptiva de primer curso de cuatro horas semanales. La geometría descriptiva
estudia la resolución de los ejercicios que se proponen en matemáticas bajó un
punto de vista gráfico, ello facilita la incorporación de las matemáticas en un
campo de acción a veces desconocido. La geometría clásica hacía eventualmente sus
descubrimientos basados muchas veces en cuestiones de dibujo, de una forma
experimental, antes de poder formalizar sus teoremas. La geometría analítica y
sintética deben coexistir felizmente ya que son enteramente complementarias, no
se entiende que se pueda conocer la ecuación de una forma geométrica sin poder
también dibujarla bajo distintas proyecciones y entender mediante imágenes una
concepción de la misma, esta cohesión entre ambos ámbitos es conocida en el
ámbito artístico por lo que se incorpora con frecuencia, proponiendo los
métodos gráficos como estímulo en la ejecución de los dibujos y en el
conocimiento de los fundamentos matemáticos que la sustentan.
